Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr, som finns i titeln på en lärobok i matematik författad av al-Khwarizimi i Bagdad år 830 v.t. Ordet har att göra med att eliminera termer från båda leden i en ekvation. Namnet på författaren har gett upphov till ordet algoritm.

Under lång tid var algebra detsamma som ekvationslösning, men nuförtiden har det en betydligt bredare betydelse. Ett sätt att beskriva algebra är som generaliserad aritmetik: inom aritmetiken studeras räkning med vanliga tal, men i algebran studeras räkneoperationer och system som har en eller flera egenskaper gemensamt med de vanliga aritmetiska operationerna och talen, men som inte alls behöver ha med dessa att göra. Algebran vid sidan av analysen (differentialkalkylen) och geometrin ett av matematikens stora delområden.

Ibland sägs algebra vara detsamma som bokstavsräkning, men det stämmer inte; i så fall vore praktiskt taget hela matematiken algebra. Men det är korrekt såtillvida att man överallt inom algebran stöter på uttryck av typen 5x - 3y, x2 + y2 = 1 och x3 + y3 = z3. Skillnaden mellan dessa är att de två senare är sanna för vissa värden på variablerna och falska för andra. Det första uttrycket har inget sanningsvärde oavsett vad x och y är. Ett algebraiskt problem kan vara att undersöka vilka tal x, y och z som uppfyller ett samband som x2 + y2 = z2 Finns det några heltal som gör det? Hur många, i så fall? (Svaren är ja respektive oändligt många!) Just det här problemet går tillbaka till antiken och har att göra med att bestämma alla rätvinkliga trianglar med heltalssidor. En lösning är x=5, y = 12, z = 13 men det finns som sagt många fler.

Begreppet struktur är viktigt i algebran. De två ekvationerna 5x = y och 5s = t beskriver samma samband. De två ekvationerna 5x = y och 3u = v beskriver inte samma samband, men de har samma struktur. Vilka egenskaper har olika samband med samma struktur? Detta leder vidare till studier av samband mellan variabler (som x, y) överhuvudtaget. Här syns det att algebran ofta är abstrakt, vilket i sin tur gör att den är användbar i många olika situationer.

Torbjörn Tambour