Wallenberganslag till sex matematiker
Av 18 anslag till framstående matematiker inom ramen för Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram går 6 till Stockholms universitet.
Matematikprogrammet är en långsiktig satsning av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse. Under åren 2014–2029 är tanken att 650 miljoner kronor ska anslås till svensk matematisk forskning. Varje år rekryteras både yngre och mer seniora matematiker till Sverige. Samtidigt får unga, svenska matematiker en möjlighet att resa ut i världen på en postdoktoral tjänst. I och med denna omgång har 152 forskare fått anslag inom programmet. Svenska universitet med en matematisk institution har möjlighet att nominera kandidater till programmet. Dessa utvärderas sedan av Kungliga Vetenskapsakademien som samarbetar med Stiftelsen.
I årets omgång beviljas stöd till 18 matematiker. Av dessa går sex till Stockholms universitet, som därmed är det universitet som tilldelas flest. (Läs artiklar om dessa sex forskare nedan.)
Postdoktorala tjänster utomlands
Fyra av sex forskare som beviljas postdoktoral tjänst vid universitet i utlandet och stöd under två år efter återvändandet till Sverige finns vid Stockholms universitet. Dessa är doktoranderna:
Josefien Kuijper, för tjänst vid University of Toronto i Kanada
Stefan Reppen, för tjänst vid University of California, Berkeley i USA
Robin Stoll, för tjänst vid University of Cambridge i Storbritannien
Louis Hainaut, för tjänst vid University of Chicago i USA.
Utländska gästforskare
Sex etablerade forskare från utlandet rekryteras som gästprofessorer vid svenska universitet. Två av dessa rekryteras till Stockholms universitet. Det är:
Professor Rita Pardini, Universitá di Pisa i Italien (sökt av professor Sofia Tirabassi)
Professor Mario Wüthrich, ETH Zürich i Schweiz (sökt av professor Mathias Millberg Lindholm).
Dessutom tilldelas fem forskare medel för att rekrytera en forskare från utlandet till en postdoktoral tjänst i Sverige.
Läs om alla 18 forskarna och deras forskning
Att förstå geometri genom elementära byggstenar
Josefien Kuijper som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Elden Elmanto vid University of Toronto.
Algebraisk geometri är studiet av varieteter, som är geometriska former som kan beskrivas med algebraiska ekvationer. Ett enkelt exempel på en varietet är en cirkel med radien r, som beskrivs av ekvationen x²+y²=r². Ett viktigt verktyg för att studera algebraiska varieteter är kohomologiteorier, instrument som förvandlar algebraiska varieteter till enklare objekt, såsom grupper eller vektorrum. De är nödvändiga för att förstå den algebraiska och geometriska information som finns i algebraiska varieteter.
Cirkeln är ett exempel på en algebraisk varietet som är både slät och komplett, vilket innebär att den geometriska formen inte korsar sig själv eller uppvisar något annat singulärt beteende, och att den är sluten och begränsad. De släta kompletta varieteterna är bättre förstådda än algebraiska varieteter i allmänhet. Lyckligtvis kan metoder som kompaktifiering och desingularisering användas för att relatera en godtycklig varietet till varieteter som är släta och kompletta.
I det föreslagna projektet kommer Josefien Kuijper att använda dessa principer, att "bygga godtyckliga varieteter från släta och kompletta varieteter", för att förstå kohomologiteorier bättre, och konstruera nya sådana. När är en kohomologiteori unikt bestämd av dess beteende på varieteter som är släta och kompletta? Vilken är den minsta mängd data som behövs för att unikt bestämma en kohomologiteori?
Dessa frågor är inspirerade av arbeten av Grothendieck och Deligne från förra århundradet. Men moderna verktyg, som oändlighetskategorier, har redan gett upphov till nya perspektiv och spännande resultat. Ett annat syfte med projektet är att undersöka hur dessa nya verktyg, i kombination med gamla principer, kastar ljus över andra begrepp som går tillbaka till Grothendieck: den algebraiska K-teorin för kategorin av varieteter, och sex-funktorformalismer.
På väg mot matematikens teori om allting
Stefan Reppen som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Sug Woo Shin vid University of California, Berkeley.
Många komplicerade framsteg inom matematisk forskning har sin grund i en önskan att lösa en ekvation. Men det är ofta omöjligt att göra det genom att laborera direkt med själva ekvationen och i stället kopplas lösningarna till abstrakta geometriska objekt, algebraiska varieteter. Dessa i sin tur är byggstenar till än mer sofistikerade geometriska objekt kallade Shimuravarieteter.
Shimuravarieteterna utgörs av familjer av algebraiska varieteter. De har hamnat i fokus för den moderna talteorin då de något oväntat spelade en avgörande roll i beviset av talteorins mest berömda problem – Fermats stora sats från 1600-talet. Den franske matematikern hävdade då att han hade ett bevis för att ekvationen xn + yn = zn inte har några lösningar bland de positiva heltalen för n större än 2. Det riktiga beviset kom först 1995, och förutom Shimuravarieteter användes även modulära former för att föra den nästan 400 år gamla satsen i bevis.
Det aktuella projektet använder sig av modulära former, som är ett slags funktioner på Shimuravarieterna, för att utforska vissa aspekter av varieteternas grundläggande geometriska struktur. I förlängningen bidrar dessa studier till att finna djupa kopplingar mellan geometri och talteori vilket är syftet med en av de största satsningarna inom den moderna matematiken – Langlandsprogrammet – ibland kallad ”matematikens teori om allting”.
Grafkomplex – ett användbart verktyg inom den algebraiska topologin
Robin Stoll som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Oscar Randal-Williams vid University of Cambridge.
Algebraisk topologi använder verktyg från algebra för att undersöka abstrakta geometriska objekt, såsom ett plan, en sfär eller en torus*. Alla tre är tvådimensionella exempel på så kallade mångfalder, som tillsammans med analoger i högre dimensioner är de centrala studieobjekten inom topologi.
Under de senaste århundradena har studiet av mångfalder spelat en viktig roll inom olika områden av matematik och teoretisk fysik. Många av deras egenskaper är dock fortfarande okända, och syftet med detta postdoktorala projekt är att utforska nya metoder för att förstå vissa abstrakta mångfalder med ett udda antal dimensioner.
Frågan om att klassificera grenrör och deras symmetrier har drivit utvecklingen av algebraisk topologi under 1900-talet. Två mångfalder sägs tillhöra samma klass om de kan deformeras till varandra utan att de går sönder eller klibbar samman. Att förstå samlingen av alla grenrör som tillhör en sådan klass är av stor vikt. Detta problem har dock visat sig vara extremt svårt att lösa.
Det har här stor betydelse om dimensionen är jämn eller udda. Det senaste decenniet har stora framsteg gjorts avseende mångfalder med jämna dimensioner. Projektet kommer att testa en ny metod som använder grafkomplex för att undersöka fallet med udda dimensioner.
*Torus är inom matematiken en sluten yta, till exempel som ett ”0” eller en munk med hål i mitten.
Att jämföra avbildningar av topologiska rum
Louis Hainaut som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Benson Farb vid University of Chicago, Illinois, USA.
Algebraisk topologi använder algebra för att mäta topologiska egenskaper och har visat sig vara effektiv för att klassificera topologiska objekt med hjälp av topologiska invarianter. Invarianter är egenskaper som inte förändras när topologiska objekt genomgår kontinuerlig deformation utan att gå sönder, t.ex. sträckning eller vridning. Topologiska objekt är de rum där geometri utspelar sig och är blinda för kvantitativ geometri som vinklar, längder, ytor och volymer.
En grundläggande topologisk invariant är homologi. Idén om homologi utvecklades för analys av hål i geometriska objekt. Den härstammar från Eulers polyederformel uppkallad efter den schweiziska matematikern Leonhard Euler. I mitten av 1700-talet bevisade han att summan av antalet hörn och sidor hos en polyeder, som en kub eller tetraeder, alltid är lika med antalet kanter plus två.
Begreppet homologi utvecklades under de kommande århundraden och visade sig så småningom ha oerhört breda tillämpningar inom matematiken. Av särskilt intresse för det planerade projektet är konfigurationsrum och studier av förhållandet mellan avbildningar av topologiska rum till sig själva och avbildningar av deras relaterade homologigrupper.
Att känna igen rätt varietet
Rita Pardini är professor vid Università di Pisa i Italien. Hon kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, vara gästprofessor vid Matematiska institutionen, Stockholms universitet.
Inom den algebraiska geometrin, som är området för det planerade projektet, studeras geometriska objekt som kommer från polynomekvationer. Sådana objekt kallas algebraiska varieteter och förekommer i två huvudtyper – projektiva och kvasiprojektiva.
Bland de mest studerade projektiva varieteterna är abelska varieteter vilka också har flest tillämpningar i vår vardag. Till exempel bygger den moderna kryptografin på endimensionella abelska varieteter (också kallade elliptiska kurvor). De ligger till grund för de öppna internetprotokollen SSH, PGP och TLS som garanterar säkerheten i all datakommunikation. Kryptografin byggd på de elliptiska kurvorna används även för att säkra transaktioner med Bitcoin och andra kryptovalutor.
De kvasiprojektiva varieteterna är betydligt mindre utforskade och syftet med projektet är att utvidga några av de redan kända metoderna för att klassificera projektiva varieteter till att behandla de kvasiprojektiva fallen. I en tidigare artikel som den inbjudna professor Rita Pardini skrivit tillsammans med andra undersöktes vilka kvasiprojektiva varieteter uppfyller kraven för att även ingå i en annan kategori som kallas halvabelska: Om en kvasiprojektiv varietet klär sig som en halvabelsk varietet, ser ut och beter sig som en sådan, är den då en halvabelsk varietet? Med andra ord, vilka är de viktigaste egenskaperna hos de kvasiprojektiva varieteterna som avgör frågan? Tidigare har det saknats metoder för att besvara denna och liknande frågor kring de kvasiprojektiva varieteterna och det krävs helt nya sätt att gå till väga för att kunna hantera dem.
Rättvisa och diskriminering i försäkringsprissättning
Mario Wüthrich är professor vid ETH Zürich i Schweiz. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, att vara gästprofessor vid Matematiska institutionen, Stockholms universitet.
Projektet handlar om att med hjälp av matematiska metoder ta sig an frågor kring rättvisa och diskriminering inom försäkringsbranschen. Hur ska dessa frågor hanteras i prissättning av försäkringar?
Redan nu finns det lagar som förbjuder bolagen att använda så kallade skyddade attribut, som kön, vid prissättning av försäkringar. Men att bara bortse från de skyddade attributen räcker inte, eftersom det ändå går att komma åt dem genom en mängd icke-skyddade variabler som numera finns samlade i stora mängder, ”big data”. Detta brukar kallas indirekt diskriminering. Frågor om diskriminering, både direkt, och indirekt, finns redan idag reglerade i lag. Men lagtexternas definitioner är inte matematiskt väl preciserade och lämnar utrymme för tolkning.
I praktiken kommer försäkringspriser sällan att vara fullständigt diskriminerande eller helt undvika diskriminering, och en viktig del i detta forskningsprojekt handlar om att ta fram metoder för att på ett tillförlitligt sätt kunna mäta graden av rättvisa och diskriminering i försäkringsprissättning. Detta är av särskilt intresse när det gäller att till exempel identifiera missgynnade grupper av individer.
En annan del i projektet handlar om att försäkringsverksamheten bedrivs på en konkurrensutsatt marknad vilket gör att matematiskt riskbaserade försäkringspremier justeras med hänsyn till marknaden. Denna typ av justeringar öppnar upp för nya matematiska frågor kring rättvisa och hur diskriminering kan undvikas.
Senast uppdaterad: 9 april 2024
Sidansvarig: Kommunikationsavdelningen