Stockholms universitet logo, länk till startsida

Tre anslag till matematiker vid universitetet

I årets utdelning av matematikanslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse går tre till Stockholms universitet för att rekrytera forskare från utlandet.

Femton matematiker får i år dela på 25 miljoner kronor i anslag inom ramen för Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram. Programmet gör det bland annat möjligt för yngre matematiker att forska vid någon av världens främsta matematikmiljöer och sedan återvända till Sverige.

Tre forskare vid Stockholms universitet får matematikanslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse för att rekrytera forskare från utlandet.

Kvasikristaller i fokus

Professor Pavel Kurasov får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.

Pavel Kurasov
Pavel Kurasov Foto: Annemarie Luger

Kvasikristaller är ett nytt område för forskning inom den matematiska analysen och är ämnet för det här projektet. När den israeliske kemisten Dan Shechtman upptäckte kvasikristallerna 1982 mötte han kompakt motstånd och tvingades lämna sin forskargrupp. Trettio år senare, i december 2011, bjöds han till Stockholm för att ta emot Nobelpriset i kemi.

Kvasikristaller, liksom vanliga kristaller, bygger upp metaller och andra fasta ämnen vilkas atomer är mycket regelbundet ordnade i ett symmetriskt mönster. Men till skillnad från kristallerna, där mönstret upprepar sig periodiskt, saknar kvasikristallerna denna egenskap.

Redan ett decennium före upptäckten hade matematiker intresserat sig för mönster som är kvasisymmetriska och inte periodiska. Till de mest berömda hör raffinerade mosaikmönster som den brittiske matematikern Roger Penrose konstruerade på 1970-talet. Snart visade det sig att liknande mönster går att finna på flera hundra år gamla moskéväggar i Iran, Centralasien och Turkiet.

Men den moderna matematiska utforskningen av kvasikristaller har bara börjat. Förra året presenterade Pavel Kurasov tillsammans med Peter Sarnak (vid IAS Princeton), en matematisk konstruktion som ger upphov till många hittills okända kvasikristaller och samtidigt besvarade frågor av Yves Meyer (som fick Abelpriset 2017). Detta har inspirerat andra forskare att ta fram egna konstruktioner. Syftet med det föreslagna projektet är att analysera hur konstruktionerna förhåller sig mot varandra och försöka klassificera alla kvasikristaller.
 

Nya verktyg för felsökare

Biträdande lektor Anders Mörtberg får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.
 

Foto av Anders Mörtberg
Anders Mörtberg Foto: Kristoffer Sahlin

När moderna datorprogram och matematiska teorier blir alltmer komplexa blir det också allt svårare att vara säker på att de är helt fria från buggar och misstag. En metod för att öka tillförlitligheten är att använda en bevisassistent – ett datorprogram som kan verifiera att koden är buggfri. Målet för projektet är att utveckla de teorier som ligger till grund för moderna bevisassistenter.

Bevisassistenter kan även användas för att verifiera komplicerade matematiska bevis. Ett exempel är fyrfärgssatsen som säger att alla planära kartor kan färgläggas med endast fyra färger så att inga närliggande länder har samma färg. Satsen bevisades 1976 med hjälp av över 1 000 timmar långa datorberäkningar vilka i sin tur behövde granskas. En formell bekräftelse kom slutligen 2005 då en bevisassistent kunde visa att beräkningarna var fria från buggar.

Många av dagens bevisassistenter bygger på typteorier, en samling logiska system utvecklade med målet att utgöra grunden för all matematik. Den första moderna typteorin konstruerades på 1970-talet av Per Martin-Löf, professor emeritus i logik vid Stockholms universitet. Under de senaste åren har utvecklingen av typteorin inspirerats av dess kopplingar till homotopiteori, en del av det matematiska fältet algebraisk topologi. Ur en förening mellan de två teorierna har ett antal nya idéer, axiom och metoder vuxit fram för att tackla frågor om verifiering. Syftet med projektet är att förutom arbetet med teoretiska modeller även vidareutveckla redan kända bevisassistenter så att buggar i matematiska bevis och program bättre kan förebyggas.
 

Tar sig in i en förbjuden zon

Docent Sven Raum får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.
 

Foto av Sven Raum
Sven Raum. Foto: Martin Raum

Operatoralgebror står i centrum för det planerade projektet. Teorin för operatoralgebror är ett relativt nytt fält inom matematiken som utvecklades under 1930-talet för att förse den nytillkomna kvantmekaniken med en solid matematisk grund. Med hjälp av moderna operatoralgebror hoppas nu forskarna kunna beträda hittills okända marker inom representationsteorin.

Inom den elementära geometrin studerar man ofta symmetrier som speglingar och rotationer. Man kan till exempel rotera en kvadrat ett kvarts varv och man kan också komponera två symmetrier för att få en ny symmetri. Tillsammans bildar då dessa en symmetrigrupp, som sedan kan studeras algebraiskt oberoende av gruppens geometriska ursprung. Man kan då fråga sig om andra geometriska objekt kan ha samma symmetrier och om det går att göra en lista av alla representationer av den givna gruppen.

Men på 1950-talet upptäckte den amerikanske matematikern George Mackey att det finns en no-go-zon inom representationsteorin där en sådan lista inte går att göra. Först nyligen visade det sig att vissa speciella symmetrigrupper faktiskt kan leda från en godartad representationsteori till den förbjudna no-go-zonen. Då dessa symmetrigrupper konstrueras med relativt enkla begrepp finns det numera hopp om att kunna utveckla operatoralgebraiska idéer för att övervinna nuvarande begränsningar inom representationsteorin.

Läs mer om forskarna och projekten. https://kaw.wallenberg.org/matematikprogrammet-2021