Forskningsprojekt Potentiell oändlighet i matematikens fundament
0, 1, 2, ..., osv. Dessa är de naturliga talen. Vi lär oss att börja räkna dem i 4-års åldern. Ska denna serie uppfattas som oändlig? Detta forskningsprojekt går ut på att använda potentiell oändlighet för att förklara centrala fenomen i matematikens fundament.
Lägg till principerna för addition och multiplikation, logiska begrepp som "för alla", samt några grundläggande axiom, och vi får det system som kallas aritmetiken. Det är av fundamental betydelse för matematiken, och utgör urtypen av oändligheten. Oändligheten kan förklaras filosofiskt på olika sätt. Vissa filosofer (ultrafinitister) anser att det inte finns någon matematisk oändlighet, medan andra (aktualister) menar att det finns en fullbordad mängd av oändligt många tal. Redan Aristoteles förordade en medelväg mellan dessa extremer, som emellertid inte fått en modern logisk formulering förrän av Linnebo och Shapiro i en artikel från 2018. Denna går ut på att betrakta 0, 1, 2, ... som en potentiellt oändlig process: vilket tal vi än väljer, så är det ändligt, men vi kan alltid välja ett större tal.
Projektbeskrivning
Detta forskningsförslag går ut på att använda potentiell oändlighet för att förklara centrala fenomen i matematikens fundament. Vi behöver först titta på en serie chockerande upptäckter, som rev ned den rådande bilden av matematikens fundament på 1930-talet:
1. Gödel bevisade att det är omöjligt att på ett tillfredsställande sätt visa att aritmetiken är motsägelsefri. Det går med andra ord inte att utesluta att någon en dag bevisar att 0=1.
2. Tarski bevisade att det inte går att definiera matematisk sanning fullt ut. För den sanning som ändå går att specificera matematiskt finns det alltid två perspektiv: sanning inifrån kan skilja sig från sanning utifrån sett.
3. Skolem bevisade att aritmetiken har icke-standard tolkningar. Det innebär att vi kan lägga till icke-standard tal, som är större än alla naturliga tal, utan att bryta aritmetikens regler. Men de har en dubbelnatur: varje ickestandard tal är ändligt sett inifrån tolkningen, men oändligt sett utifrån.
Idag är det tydligt att dessa upptäckter var positiva för matematiken. De öppnade rika och djupa matematiska utvecklingar, som aktivt undersöks av mängder av matematiker världen över. Den gren av filosofin som studerar matematikens natur, har naturligtvis också undersökt dem, men filosofer har överlag fortsatt att betrakta dessa resultat som negativa. Så idag står vi inför ett stort glapp mellan filosofiska undersökningar och matematisk praktik.
Detta forskningsförslag bygger på nya insikter som visar att en kombination av metoder från språkfilosofin och matematikens filosofi hjälper oss att fylla detta glapp. Väsentligen handlar det om en ny tolkning av en etablerad matematisk teknik för att introducera icke-standard termer i aritmetikens språk. Icke-standard termer tolkas som indexikaler; likt ord som "jag" och "det" blir referensen kontextberoende i denna nya tolkning. Medan referensen för "jag" beror på vem som talar, blir referensen för en icke-standard term beroende på vilket matematiskt bevis det förekommer i. Referensen blir alltid ett vanligt ändligt tal, men om beviset utökas så kan referensen ändras till ett större tal, precis som i potentiell oändlighet. Det förefaller att detta skulle bli den första positiva förklaringen av icke-standard tal i den filosofiska literaturen. Metoden planeras också tillämpas på en naturlig sanningsteori, som är av särskilt intresse då den förutsäger att icke-standard tal är oundvikliga (inte bara tillgängliga).
En annan sorts potentialistisk analys planeras göras av Skolems paradox, vilken handlar om ett slags ickestandard mängder med dubbelnaturen att vara uppräkneligt oändliga sett utifrån, men ouppräkneligt oändliga sett inifrån. Denna analys leder till en slutsats som vänder upp-och-ner på etablerade föreställningar och kastar nytt ljus på detta fenomen.
Projektmedlemmar
Projektansvariga
Paul Gorbow
Postdoktor
