Forskningsprojekt Ett nytt verktyg inom spektralgeometri

Egenvärden och egenfunktioner till differentialekvationer har en betydande roll i beskrivningen av otaliga processer inom naturvetenskap och teknik. Deras matematiska studium går åtminstone tillbaka till Lord Rayleighs berömda bok The Theory of Sound, men det matematiska området som sysslar med dem – den så kallade spektralteorin – är fortfarande ytterst livligt och inspireras om och om igen av nya problem från bland annat fysik och ingenjörsvetenskap.

Ett rätt fundamentalt fysikaliskt problem som kan uttryckas matematiskt med hjälp av spektralteori är den så-kallade hot-spots-förmodan: Hur, inom en värmeisolerad skiva med en given temperaturfördelning på den, rör sig på långt sikt den hetaste och kallaste punkten i skivan? Enligt fysikalisk intuition skulle man förvänta sig, att de rör sig bort ifrån varandra och strävar efter att nå det största möjliga avståndet. Det återstår dock ett allmänt matematiskt bevis av denna hypotes. Än så länge har förmodan endast bevisats för skivor med vissa geometriska former.

Matematiskt formulerat säger hot-spots-förmodan att en viss egenfunktion till en partiell differentialekvation på ett område i planet eller i rummet antar sitt största och minsta värde endast på områdets rand. Denna forskningsprojekt avser att undersöka allmänt punkterna i vilka egenfunktioner till vissa partiella differentialekvationer kan anta sina största och minsta värden. Detta baseras på en ny matematisk metod. Det kan förväntas, att forskningsprojektet leder till ett bevis till hot-spots-förmodan för nya geometrier samt till en bättre förståelse av egenfunktioner och deras koppling till geometri.