Forskningsprojekt Okända egenskaper hos abstrakta geometriska objekt

Det vanligaste och enklaste exemplet på en varietet är kanske cirkeln med radien r, den geometriska figuren som kan beskrivas med ekvationen X² + Y² = r² i XY-planet. Men det finns varieteter som är mycket mer komplicerade, de kan beskrivas av hundratals ekvationer i lika många variabler. Det är inte möjligt att rita dem och att undersöka deras egenskaper direkt, på samma sätt som man skulle göra för cirkeln, är nästan otänkbart.

Huvudmålet med detta projekt är att utveckla nya tekniker för att studera geometrin för varieteter, med särskild uppmärksamhet på så kallade positivt-karakteristiska algebraiska varieteter. Dessa är vanligtvis nollokalisering av polynom med koefficienter i system med begränsat antal. Till exempel kan man titta på mängden av de tre möjliga rester som kan erhållas när man delar ett heltal med 3. På detta kan man definiera två operationer som följer liknande aritmetiska regler som de för den vanliga aderingen och den vanliga multiplikationen. När vi väl har dessa två operationer kan vi definiera polynom med koefficienter i denna mängd. Och om det finns polynom har vi polynomekvationer och därmed algebraiska varieteter!

Nu, till alla algebraiska varieteter, kan man associera den deriverade kategorin. Detta är ett verktyg som introducerades av Verdier på 60-talet, som använder många framsteg inom forskningen om varieteter definierade över de komplexa talen. Idag har deriverade kategorier också bredare tillämpningar. Till exempel har de bidragit mycket till studien av teorin om strängar och kvantfysik. Men deras användning för att studera geometrin för positivt-karakteristiska varieteter är fortfarande till stor del outforskad. Med det nuvarande projektet syftar vi till att fylla detta gap.